Sommaire
I Le cours 6
1 Intégrales curvilignes 8
1.1 Notions sur les arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................. . . 9
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................. . . 10
1.1.2 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... . . . . . . . . . 11
1.1.3 Arcs orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . . . . 12
1.1.4 Points particuliers et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................... . . . . . . . . 14
1.1.5 Longueur d’un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. . . . . . . 15
1.2 Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................. . . . . 17
1.2.2 Calcul pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. . . . . . . . 18
1.2.3 Champ dérivant d’un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................... . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ . . . . . . . . . . . 22
2 Intégrales de surfaces 24
2.1 Notions sur les surfaces paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................... . 26
2.1.2 Définition : plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... . . . . . . . . 27
2.1.3 Aire d’une surface non plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................... . . . . . . . . 30
2.2 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................. . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Flux et intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... . . . . . . . . . 33
2.3 Théorèmes intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................... . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. . . . . . . . . . 36
2.3.2 Théorème d’Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... . . . . . . . . . . . 37
II Les annexes 39
A Les exemples 40
A.1 Exemples du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... . . . . . . . . . 42
A.1.1 Arc paramétré dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... . . . . . . . 42
A.1.2 Arc paramétré dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... . . . . . . . . 43
A.1.3 Arc paramétré dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ . . . . . . . . . . 44
A.1.4 Orientation et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... . . . . . . . . . 45
A.1.5 Circulation d’un champ de IR3....................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.2 Exemples du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.2.1 La sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................. . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.2.2 Le parapluie de Whitney . . . . . . . . . . . . .......................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.2.3 Equation cartésienne d’une surface . . . . . . ...................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent . . . . . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B Les exercices ....................................................................................................................................51
B.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B.1.1 Points simples et multiples . . . . . . . . . . . . ............................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B.1.2 Périmètre du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . 54
B.1.3 Longueur d’un arc défini par une équation cartésienne y = f(x) . ......................... . . . . . . . . . . 55
B.1.4 Travail sur une demi-ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... . . . . 56
B.1.5 Travail sur une helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. . . . . 57
B.1.6 Travail d’un champ dérivant d’un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . .................................. . . . . . . 58
B.1.7 Exercice : premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. . . . . . 59
B.1.8 Calcul d’aire d’une surface plane . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ . . . . . . . . . . 60
B.1.9 Exercice : second bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. . . . . . . . 61
B.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................... . . . . . . . . . . . 62
B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne . . . . . . ......................... . . . . . 62
B.2.2 Aire d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . 63
B.2.3 Flux à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................ . . . . . . . . 64
B.2.4 Exercice : premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. . . . . . . . . . 65
B.2.5 Application à la formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . ....................................... . . . . . . . . . . . . 66
B.2.6 Application à la formule d’Ostrogradski . . . . . . . . . . .................................... . . . . . . . . . . . . . 67
B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir... . . . . . . . . . . . . . . . ....................................... . . . . . . . . . . . 68
C Les documents .................................................................................................................................70
C.1 Documents du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... . . . . . . . . . . . . . 71
C.1.1 Masse d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.1.2 Rappels de calcul vectoriel . . . . . . . . . . ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
C.2 Documents du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.2.1 Règle du tire-bouchon de Maxwell . . . . . . ...................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Remarque: le cours est sous la forme d'un fichier PDF.
0 commentaires:
Enregistrer un commentaire